Question

【题目】如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E、F分别在A1B1、C1D1上，A1E=D1F=4，过点E,F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（2）（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】
（1）

交线围成的正方形EHGF如图;

（2）

【解答】作EMAB,垂足为M，则AM=A1E=4，EM=AA1=8，因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10,于是MH=，所以AH=10，以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(10，0，0),H(10，10，0)，E(10，4，8)，F（0,4,8），=(10，0，0)，=(0，-6,8)，设=（x，y，z）是平面EHGF的法向量，则,即,所以可取=（0,4,3）。又=(-10，4，8),故|cos,|=，所以直线AF与平面所成角的正弦值为

【解析】根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用sin=|cos,|求直线AF与平面所成角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的性质和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．