Question

4．已知梯形CEPD如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F满足$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AB}$（0＜λ＜1）时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角从标系，利用向量法能求出λ的值．

解答 解：由题意，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，4，0），E（4，0，2），C（4，4，0），P（0，0，4），A（0，0，0），B（4，0，0），
设F（t，0，0），0≤t≤4，$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AB}$（0＜λ＜1），
则（t，0，0）=（4λ，0，0），∴t=4λ，∴F（4λ，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（4，-4，2），$\overrightarrow{DF}$=（4λ，-4，0），$\overrightarrow{PC}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{PE}$=（4，0，-2），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=4x-4y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=4λx-4y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，λ，2λ-2），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4a+4b-4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=4a-2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+λ+2（2λ-2）=0，解得$λ=\frac{3}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．