Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．

（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求证：PD∥平面EAC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，∴PA⊥BC，

又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．

∵BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．

（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．

又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得 ，

∴ ．

又∵AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．

∴ ．

连接BD，交AC于点M，则由AB∥CD得： ．

在△BPD中， ，所以PD∥EM

又∵PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．

【解析】1、由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，根据线线垂直的判定定理可得证。
2、做辅助线连接BD，交AC于点M,连接EM由射影定理可得AC⊥AD． 在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得 ∠ D C A = ∠ B A C = ，∵AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形． D C = A C = ( A B ) = 2 A B ，由AB∥CD得 ,在△BPD中， ，所以PD∥EM,又∵PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．