Question

已知数列{2a_n-1}是公比为3的等比数列，且a₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n²+2n-2，且c_n=（a_n-

1

2

）•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比数列通项公式得，数列{2a_n-1}的通项公式，移向变形得出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由S_n=2n²+2n-2，利用当n=1时，b₁=S₁，当n≥2时，b_n=S_n=-S _n-1，求出b_n，继而求出c_n，选择适当求和法求解．

解答：解：（Ⅰ）根据等比数列通项公式得，数列{2a_n-1}的通项公式为2a_n-1=1×3^n-1，所以a_n=

3n-1+1

2

（Ⅱ）由S_n=2n²+2n-2，可得
当n=1时，b₁=S₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n=-S _n-1=4n，
所以c_n=（a_n-

1

2

）•b_n=

3n-1+1

2

•b_n=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2

当n=1时，T₁=c₁=1，
当n≥2时，T_n=1+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1
3T_n=3+4•3²+6•3³+…+2（n-1）•3^n-1+2n•3ⁿ
-2T_n=-2+4×3+2•3²+2•3³+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ
=10+

2•32(1-3n-2)

1-3

-2n•3ⁿ
=（1-2n）•3ⁿ+1，
T_n=

(2n-1)•3n-1

2

．
n=1时，也适合，所以T_n=

(2n-1)•3n-1

2

．

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和，本题中要注意分类讨论求通项和求和，是本题的易错点．属于中档题．