Question

7．设函数f（x）=|2x+1|+|2x-2|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义求解即可．
（Ⅱ）去掉绝对值符号，利用数形结合，以及直线系方程，转化求解即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由不等式的性质可得：|2x+1|+|2x-2|≥|2x+1-2x+2|=3，
所以当且仅当$-\frac{1}{2}≤x≤1$时，函数f（x）的最小值为3．…（5分）
（Ⅱ）$f（x）=|{2x+1}|+|{2x-2}|=\left\{\begin{array}{l}4x-1（{x≥1}）\\ 3（{-\frac{1}{2}＜x＜1}）\\ 1-4x（{x≤-\frac{1}{2}，}）\end{array}\right.$…（7分）
又函数y=ax+1恒过定点（0，1），
结合函数图象可得：a＜-4或a＞2．…（10分）

点评 本题考查函数的最值的求法，数形结合的应用，直线系方程的应用，绝对值不等式的几何意义，考查计算能力．