Question

10．已知sinα+cosα=$\frac{4}{5}$，且$\frac{3π}{2}$＜α＜2π，计算：
（1）sinα-cosα；
（2）$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 （1）由sinα+cosα=$\frac{4}{5}$，且$\frac{3π}{2}$＜α＜2π，可得sinα＜0，cosα＞0，利用平方关系可得2sinαcosα，因此sinα-cosα=-$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$．
（2）化简$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{（sinα+cosα）（sinα-cosα）}{（sinαcosα）^{2}}$，把（1）中的sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα代入即可得出．

解答 解：（1）由sinα+cosα=$\frac{4}{5}$，且$\frac{3π}{2}$＜α＜2π，
∴可得sinα＜0，cosα＞0，
∴sin²α+cos²α+2sinαcosα=$\frac{16}{25}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{9}{25}$，
因此sinα-cosα=-$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$=-$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+2×\frac{9}{25}}$=-$\frac{\sqrt{34}}{5}$．
（2）$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{（sinα+cosα）（sinα-cosα）}{（sinαcosα）^{2}}$=$\frac{\frac{4}{5}×（-\frac{\sqrt{34}}{5}）}{（-\frac{9}{50}）^{2}}$=-$\frac{400\sqrt{34}}{81}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．