Question

（本题满分14分）
已知直线，圆.
（Ⅰ）证明：对任意，直线与圆恒有两个公共点.
（Ⅱ）过圆心作于点，当变化时，求点的轨迹的方程.
（Ⅲ）直线与点的轨迹交于点，与圆交于点，是否存在的值，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）轨迹的方程为.
（Ⅲ）存在，使得且.

本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用。
解：（Ⅰ）方法1：圆心的坐标为，半径为3…………………1分
圆心到直线距离………………2分
∴
∴即
∴直线与圆恒有两个公共点……………………4分
方法2：联立方程组…………………………1分
消去，得………………2分

∴直线与圆恒有两个公共点………………………4分
方法3：将圆化成标准方程为.…1分
由可得：.
解得，所以直线过定点.……………3分
因为在圆C内，所以直线与圆恒有两个公共点.………………4分
（Ⅱ）设的中点为，由于°，
∴
∴点的轨迹为以为直径的圆.………………7分
中点的坐标为，.
∴所以轨迹的方程为.………………9分
（Ⅲ）假设存在的值，使得.
如图所示，

有，……10分
又，，
其中为C到直线的距离.……………12分
所以，化简得.解得.
所以存在，使得且.……………………14分