Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，可求出各点的坐标；
（1）求出EF和CD的方向向量，根据向量垂直的充要条件，可证得

EF

⊥

DC

，即EF⊥DC．
（2）设G（x，0，z），根据线面垂直的性质，可得

FG

•

CB

=

FG

•

CP

=0，进而可求出x，z值，得到G点的位置；
（3）求出平面DEF的法向量为

n

，及DB的方向

BD

的坐标，代入向量夹角公式，可得DB与平面DEF所成角的正弦值

解答：解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
设AD=a，则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a，

a

2

，0）、F（

a

2

，

a

2

，

a

2

）、P（0，0，a）．
（1）∵

EF

=（-

a

2

，0，

a

2

），

DC

=（0，a，0），
∴

EF

•

DC

=（-

a

2

，0，

a

2

）•（0，a，0）=0，
∴

EF

⊥

DC

∴EF⊥DC．-------（4分）
（2）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．

FG

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

），

FG

•

CB

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

）•（a，0，0）=a（x-

a

2

）=0，∴x=

a

2

；

FG

•

CP

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

）•（0，-a，a）=

a2

2

+a（z-

a

2

）=0，∴z=0．
∴G点坐标为（

a

2

，0，0），即G点为AD的中点．---------（8分）
（3）设平面DEF的法向量为

n

=（x，y，z）．
由

n • DF =0 n • DE =0

得：

a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0

取x=1，则y=-2，z=1，
∴

n

=（1，-2，1）．
cos＜

BD

，

n

＞=

BD •n

| BD ||n|

=

a

2 a• 6

=

3

6

，
∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为

3

6

------（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，其中建立空间坐标系，将空间线线关系，线面关系转化为向量垂直和平行，将线面夹角转化为向量夹角是解答的关键．