Question

已知实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a、b、c满足b²＜3ac，求证：函数f（x）是单调函数．

Answer 1

分析：（1）根据题意，f（0）=-7，f′（0）=-18，可以求出d和c的值，再根据函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，可以确定-1和3为f′（x）=0的两个根，代入f′（x）=0，列出方程组，求解即可得到a和b的值，从而求得函数f（x）的表达式；
（2）根据b²＜3ac，确定f'（x）为二次三项式，判断出△＜0，再根据二次项系数a的正负，分别研究f'（x）的正负，即可证得函数f（x）是单调函数．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（0）=-7，
∴d=-7，
∵f'（0）=-18，
∴c=-18，
∴f'（x）=3ax²+2bx-18，
∵函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
∴-1和3必是f'（x）=0的两个根，
∴

3a-2b-18=0 27a+6a-18=0

，解得

a=2 b=-6

，
∴f（x）=2x³-6x²-18x-7；
（2）由（1）可知，f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵b²-3ac＜0，
∴a≠0，c≠0，
∴f'（x）为二次三项式，
∵△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
∴当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调增函数，
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调减函数，
∴对任意给定的非零实数a，函数f（x）总是单调函数．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究函数的单调性．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．