Question

14．已知体积为V的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，P为棱BB₁上除B，B₁两点外的任意一点，则四棱锥P-AA₁C₁C的体积等于（　　）

• A． $\frac{V}{2}$
• B． $\frac{V}{3}$
• C． $\frac{2V}{3}$
• D． $\frac{V}{4}$

Answer 1

分析 四棱锥的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积，而两个三棱锥的体积之和恰好等于棱柱体积的$\frac{1}{3}$．

解答 解：设P到底面ABC的距离为h₁，P到底面A₁B₁C₁的距离为h₂，棱柱的底面积为S，则V=S（h₁+h₂）．
V_棱锥P-ABC=$\frac{1}{3}$Sh₁，V${\;}_{棱锥P-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{1}{3}S{h}_{2}$，
∴四棱锥P-AA₁C₁C的体积V′=V-V_棱锥P-ABC-V${\;}_{棱锥P-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=V-$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂）=$\frac{2V}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间几何体的结构特征和体积计算，属于基础题．