Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由题意得，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得
①当，即m＞-3时，由g'（x）＞0得或x＞1，
∴g（x）的单调递增区间是；
②当，即m＜-3时，由g'（x）＞0得x＜1或，
∴g（x）的单调递增区间是．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得在x∈（0，+∞）上恒成立，
设，
则，
令h'（x）=0，得（舍），
∵当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）
分析：（1）由函数极值的定义，先求函数g（x）=x³+mx²-nx的导函数，由可得m与n的关系式
（2）在（1）的条件下g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，解不等式g'（x）＞0，即可得函数g（x）的单调递增区间，但需要比较根1与的大小，因此需讨论后得结果
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，参变分离后可转化为在x∈（0，+∞）上恒成立，从而只需求的最大值即可，利用导数判断其单调性可得结果
点评：本题综合考查了导数在函数极值、单调性、最值中的应用，解题时要认真体会导数在研究函数性质方面的积极作用，规范解题，还要注意运算技巧和分类讨论