精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知|x+2y+3z|≥4(x,y,z∈R).
(Ⅰ)求x2+y2+z2的最小值;
(Ⅱ)若|a+2|≤
7
2
(x2+y2+z2)
对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.
考点:一般形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法
专题:函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:(Ⅰ)由柯西不等式可得,(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),结合条件即可得到最小值;
(Ⅱ)由恒成立思想,结合(Ⅰ)可得|a+2|≤4,解不等式即可得到.
解答: 解:(Ⅰ)由柯西不等式可得,
(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),
由|x+2y+3z|≥4,
x2+y2+z2
8
7

即x2+y2+z2的最小值为
8
7

(Ⅱ)由于|a+2|≤
7
2
(x2+y2+z2)
对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,
且x2+y2+z2的最小值为
8
7

则|a+2|≤4,
则有-4≤a+2≤4
则-6≤a≤2,
即a的取值范围为[-6,2].
点评:本题考查柯西不等式的运用:求最值,考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值,考查运算能力,属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆F1:x2+(y+1)2=1,圆F2:x2+(y-1)2=9,若动圆C与圆F1外切,且与圆F2内切,则动圆圆心C的轨迹方程为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图1,直角梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC=90°,点M,N分别在线段AB,CD上,且MN⊥AB,BC=1,MB=2,∠CBM=60°,现将梯形ABCD沿MN折起,使DN⊥NC,如图2.
(Ⅰ)求证:平面AMND⊥平面MNCB;
(Ⅱ)当直线DB与平面MNCB所成角的大小为30°时,求三棱锥C-DNB的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直角梯形ABCD中,DA=AB=1,BC=2,点P在阴影区域(含边界)中运动,则有
PA
BD
的取值范围是(  )
A、[-
1
2
,1]
B、[-1,
1
2
]
C、[-1,1]
D、[-1,0]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若函数y=3x2-4kx+5在区间[-1,3]上是单调函数,则实数k的取值范围
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若圆O1:x2+y2=1与圆O2:(x-3)2+y2=r2(r>0)内切,则r的值为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训,现分别从甲乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,用茎叶图表示这两组数据如图所示:

(1)现要从甲、乙中两人中选派一人参加技能竞赛,从平均成绩及发挥稳定性角度考虑,你认为派哪位工人参加合适?请说明理由.
(2)若将频率视为概率,对甲工人在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知平面直角坐标系中有两个顶点A(-2,0),B(2,0),若动点P满足|PA|+|PB|=6,则动点P的轨迹方程为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=
x+1
+
1
x-1
的定义域为(  )
A、(-1,1)
B、[-1,1)
C、(-1,1)∪(1,+∞)
D、[-1,1)∪(1,+∞)

查看答案和解析>>

同步练习册答案