Question

在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点F在AB上，则这个椭圆的离心率为（　　）

• A．

  6

  -

  3

• B．

  2

  -1
• C．

  6 - 3

  2

• D．

  3

  -

  6

  2

Answer 1

分析：设椭圆的另一焦点为C′，依题意可求得a，进一步可求得AC′，在直角三角形ACC′中，可求得CC′，即2c，从而可求得这个椭圆的离心率．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴ABC是个等腰直角三角形，
∴BC=

2

；
设另一焦点为C′
由椭圆定义，BC′+BC=2a，AC′+AC=2a，
 设BC′=m，则AC′=1-m，
则

2

+m=2a，1+（1-m）=2a
两式相加得：a=

2+ 2

4

；
∴AC′=2a-AC=1+

2

2

-1=

2

2

直角三角形ACC′中，由勾股定理：（2c）²=1+

1

2

=

3

2

∴c=

6

4

．
∴e=

c

a

=

6

2+ 2

=

(2- 2 )• 6

2

=

6

-

3

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，求得c=

6

4

是关键，也是难点，考查椭圆的定义与勾股定理，属于中档题．