Question

对于以下命题：
①|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若

OP

=2

OA

-

OB

+

OC

，则P、A、B、C四点共面．
③如果

a

•

b

＜0，那么

a

与

b

的夹角为钝角
④若{

a

，

b

，

c

}为空间一个基底，则{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}构成空间的另一个基底；
⑤若

m

=

a

-2

b

+3

c

，

n

=-2

a

+4

b

-6

c

，则

m

∥

n

．
其中不正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：利用不等式|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|?

a

，

b

方向相反，可判断判断①；
利用共面向量定理判断②是否正确；
利用

a

•

b

＜0，那么

a

与

b

的夹角为钝角或平角，来判断③是否正确；
根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；
根据向量共线的充要条件，可判断⑤

解答： 解：对于①，|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|?

a

，

b

方向相反，故|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共线的充分不必要条件，故错误；
对于②，对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若

OP

=2

OA

-

OB

+

OC

，∵2-2-1=-1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故错误．
对于③，如果

a

•

b

＜0，那么

a

与

b

的夹角为钝角或平角，故错误；
对于④，用反证法，若{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}不构成空间的一个基底；
设

a

+

b

=x（

b

+

c

）+（1-x）（

c

+

a

）⇒x

a

=（x-1）

b

+

c

⇒

c

=x

a

+（1-x）

b

，即

a

，

b

，

c

共面，∵{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，故正确；
对于⑤，若

m

=

a

-2

b

+3

c

，

n

=-2

a

+4

b

-6

c

，则

m

=-

1

2

n

，则

m

∥

n

，故正确．
故不正确结论的序号是：①②③，
故答案为：①②③

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式．