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    对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
    8
    7
    }=
    1
    7
    ．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1={a}，an+1=
    1
    an
      ，an≠0
    0， an=0
      其中n=1，2，3，…．
    （1）若a=
    		2
    ，求a2，a3 并猜想数列{a}的通项公式（不需要证明）；
    （2）当a＞
    1
    4
    时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
    （3）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
    分析：（1）由题设知a1={
    		2
    }=
    		2
    -1，a2={
    1
    a1
    }={
    1
    		2
    -1
    }={
    		2
    +1}={
    		2
    }=
    		2
    -1，从而可猜想数列{a}的通项公式；
    （2）当
    1
    2
    ＜a＜1，即1＜
    1
    a
    ＜2时，可求得a=
    -1+
    		5
    2
    ，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A；
    （3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
    pn
    qn
    ，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对于大于q的自然数n，都有an=0．
    解答：解：（1）∵a1={
    		2
    }=
    		2
    -1，
    a2={
    1
    a1
    }={
    1
    		2
    -1
    }={
    		2
    +1}={
    		2
    }=
    		2
    -1，
    同理可求a3=
    		2
    -1，
    于是猜想：an=
    		2
    -1．
    （2）当
    1
    2
    ＜a＜1，即1＜
    1
    a
    ＜2时，a2={
    1
    a1
    }={
    1
    a
    }=
    1
    a
    -1=a，
    ∴a2+a-1=0，
    解得a=
    -1+
    		5
    2
    或a=
    -1-
    		5
    2
    （舍去）；
    当
    1
    3
    ＜a≤
    1
    2
    ，即2≤
    1
    a
    ＜3时，a2={
    1
    a1
    }={
    1
    a
    }=
    1
    a
    -2=a，
    ∴a2+2a-1=0，
    解得a=
    -2+
    		8
    2
    =
    		2
    -1或a=-
    		2
    -1（舍去）；
    当
    1
    4
    ＜a≤
    1
    3
    ，即3≤
    1
    a
    ＜4时，a2={
    1
    a1
    }={
    1
    a
    }=
    1
    a
    -3=a，
    ∴a2+3a-1=0，
    解得a=
    -3+
    		13
    2
    或a=
    -3-
    		13
    2
    （舍去）．
    综上所述，符合要求的实数a构成的集合A={
    -1+
    		5
    2
    ，
    		2
    -1，
    -3+
    		13
    2
    }．
    （3）由a是有理数可知，对一切正整数n，an为0或正有理数．
    设an=
    pn
    qn
    （pn是非负整数，qn是正整数且
    pn
    qn
    既约）．
    ①由a1={
    p
    q
    }=
    p1
    q1
    得：0≤p1≤q；
    ②若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β为非负整数），
    则
    qn
    pn
    =α+
    β
    pn
    ，而由an=
    pn
    qn
    ，得
    1
    an
    =
    qn
    pn
    ，
    ∴an+1={
    1
    an
    }=
    β
    pn
    ，
    ∴pn+1=β，qn+1=pn，
    ∴0≤pn+1＜pn．
    若pn=0，则pn+1=0，
    若a1、a2、a3、…、aq均不为0，则这q个正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
    故a1、a2、a3、…、aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q）使得am=0．
    从而{am}中am及以后的项均为0，所以对大于q的任意正整数n，都有an=0成立，
    点评：本题考查数列的递推，考查集合的求法，考查an=0是否成立的判断与证明．综合性强，计算量大，难度较高，对数学思维能力的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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    8
    7
    ＞=
    1
    7
    ．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
    ＜
    1
    an
    ＞ an≠0
    0        an=0
    ，其中n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若a=
    		2
    ，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）当a＞
    1
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    时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
    （Ⅲ）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．

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    ||
    1
    an
     ||，an≠0
    0，an=0
    其中n=1，2，3，…
    （1）若a=
    		2
    ，求数列{an}；
    （2）当a＞
    1
    4
    时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
    （3）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号＜x＞表示．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：（ i ）a1=＜a＞；（ii）an+1=
    ＜
    1
    an
    ＞，(an≠0)
    0，(an=0)
    ，当a＞
    1
    2
    时，对任意的自然数n都有an=a，则实数a=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源：2013年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

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    （1）若a=，求数列{an}；
    （2）当a时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
    （3）若a是有理数，设a= （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．

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