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    （2013•普陀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点An满足
    OA1
    =(0，1)    ，且
    AnAn+1
    =(1，1)    ；点Bn满足
    OB1
    =(3，0)    ，且
    BnBn+1
    =(3•(
    2
    3
    )n，0)    ，其中n∈N*．
    （1）求
    OA2
    的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
    （2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
    （3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；
    （2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标，及an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn即可求出．
    （3）利用（2）的结论及作差法，求出an+1-an，进而即可判断出答案．
    解答：解：（1）由已知条件得，
    A1A2
    =(1，1)    ，
    A1A2
    =
    OA2
    -
    OA1
    ，∴
    OA2
    =(1，2)    ，
    ∵
    AnAn+1
    =(1，1)    ，∴
    OAn+1
    -
    OAn
    =(1， 1)
    设
    OAn
    =(xn，yn)    ，则xn+1-xn=1，yn+1-yn=1
    ∴xn=0+（n-1）•1=n-1；yn=1+（n-1）•1=n．
    即An=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点An在直线y=x+1上．
    （2）由（1）得An（n-1，n），
    BnBn+1
    =
    OBn+1
    -
    OBn
    =(3•(
    2
    3
    ) n，0)    ，
    设Bn（un，vn），则u1=3，v1=0，vn+1-vn=0，∴vn=0，
    un+1-un=3•(
    2
    3
    )n    ，逐差累和得，un=9(1-(
    2
    3
    )n)    ，
    ∴Bn(9(1-(
    2
    3
    )n)，0)    ．
    设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=
    1
    2
    [10-9(
    2
    3
    )    n+1    ](n+1)-
    1
    2
    [10-9(
    2
    3
    )    n    ]n    an=5+(n-2)(
    2
    3
    )n-1    ，n∈N*．
    （3）由（2）an=5+(n-2)(
    2
    3
    )n-1    ，n∈N*
    an+1-an=[5+(n-1)(
    2
    3
    )    n    ]-[5+(n-2)(
    2
    3
    )    n-1    ]=
    4-n
    3
    (
    2
    3
    )n-1    ，
    于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…
    数列{an}中项的最大值为a4=a5=5+
    16
    27
    ，则P＞5
    16
    27
    ，即最小的正整数p的值为6，
    所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有an＜p成立．
    点评：熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．
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    3
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