Question

某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．已知欠款的月利率为0.5%．
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店a元，写出在第n（n=1，2，…36）个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式．
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

Answer 1

解：（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，
即6000×=4000（元），
又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000（1+0.5%）=4020（元）．
即到第一个月底，
欠款余额为4020元．
（2）设第n个月底还款后的欠款数为y_n，
则有y₁=4000（1+0.5%）-a，
y₂=y₁（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，
y₃=y₂（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）³-a（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，
…
y_n=y_n-1（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）ⁿ-a（1+0.5%）^n-1-…-a，
整理得（n=1，2，…，36）．
（3）因为y₃₆=0，所以4000（1+0.5%）³⁶-=0，
即每月还款数 a=（元）．
答：每月的款额为121.69元．
分析：（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款计4000元，又按月利率0.5%，能求出到第一个月底，欠款余额．
（2）设第n个月底还款后的欠款数为y_n，则有y₁=4000（1+0.5%）-a，y₂=y₁（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，…y_n=y_n-1（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）ⁿ-a（1+0.5%）^n-1-…-a，由此能求出y_n．
（3）因为y₃₆=0，所以4000（1+0.5%）³⁶-=0，由此能求出每月的还款数．
点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．