Question

【题目】在如图的平面多边形ACBEF中，四边形ABEF是矩形，点O为AB的中点，△ABC中，AC=BC，现沿着AB将△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如图，此时OE⊥FC．
（1）求证：OF⊥EC；
（2）若FC与平面ABC所成角为30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，

故OC⊥平面ABE，

于是OC⊥OF．OC⊥OE，

又OE⊥FC，

∵OF⊥平面OFC，

∴OE⊥OF，

又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，

∴OF⊥EC．

（2）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．

∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，

∴∠FCA=30°，

∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．

设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．

取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，

∴∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角．

在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，

故cos∠FMP= = =- ，

即二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣

【解析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC． （Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．