【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,由三角形中位线定理可证得DE∥AC1,从而可得AC1∥平面CDB1。(2)由DE∥AC1可得∠CED为AC1与B1C所成的角(或其补角),在中,可得,解三角形得,即为所求。
试题解析:
(1)证明:设CB1与C1B的交点为E,连接DE,
∵四边形BCC1B1为正方形,
∴ E是BC1的中点,
又D是AB的中点,
∴DE∥AC1。
又DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(2)解:∵DE∥AC1,
∴∠CED为AC1与B1C所成的角(或其补角).
在△CED中, ,
∴。
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。
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【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界,已知函数.
(Ⅰ)若是奇函数,求的值.
(Ⅱ)当时,求函数在上的值域,判断函数在上是否为有界函数,并说明理由.
(Ⅲ)若函数在上是以为上界的函数,求实数的取值范围.
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【题目】随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取50个用户,按年龄分组进行访谈,统计结果如表.
组号 | 年龄 | 访谈人数 | 愿意使用 |
1 | [18,28) | 4 | 4 |
2 | [28,38) | 9 | 9 |
3 | [38,48) | 16 | 15 |
4 | [48,58) | 15 | 12 |
5 | [58,68) | 6 | 2 |
(Ⅰ)若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取12人,则各组应分别抽取多少人?
(Ⅱ)若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查,求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.
(Ⅲ)按以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断以48岁为分界点,能否在犯错误不超过1%的前提下认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关?
年龄不低于48岁的人数 | 年龄低于48岁的人数 | 合计 | |
愿意使用的人数 | |||
不愿意使用的人数 | |||
合计 |
参考公式: ,其中:n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知幂函数,且在上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[﹣2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为﹣1,给出以下结论: ①f(x)的解析式为f(x)=x3﹣4x,x∈[﹣2,2];
②f(x)的极值点有且仅有一个;
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的结论有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
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【题目】甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为 . (Ⅰ)记甲恰好击中目标2次的概率;
(Ⅱ)求乙至少击中目标2次的概率;
(Ⅲ)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率;
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【题目】下列几个命题正确的个数是( )
①若方程有一个正实根,一个负实根,则;
②函数是偶函数,但不是奇函数;
③设函数的定义域为,则函数与函数图像关于轴对称;
④一条曲线和直线的公共点个数是,则的值不可能是1。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
(2)直线关于直线l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点(1,1)对称的直线方程.
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