Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x²+y²-8x+6=0，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N．
（1）求k的取值范围；
（2）若ON∥MP，求k的值．

Answer 1

分析：（1）求出已知圆的圆心与半径，设直线方程为y=kx+2．根据直线与圆M相交，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之可得实数k的取值范围；
（2）由平行直线的斜率相等，得到直线ON的方程为y=-

1

2

x，与y=kx+2联解得到交点N(-

4

2k+1

，

2

2k+1

)，由圆的性质得MN⊥AB，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．

解答：解：（1）设已知直线方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，
将圆的方程化为（x-4）²+y²=10，可得圆心为M（4，0）、半径r=

10

∵直线与圆M相交于不同的两点A、B，
∴圆心M到直线的距离小于半径，即d=

|4k+2|

k2+1

＜

10

，
化简得（4k+2）²＜10（k²+1），解得-3＜k＜

1

3

．
（2）∵ON∥MP，且MP斜率为-

1

2

，
∴直线ON的斜率也等于-

1

2

，可得ON的方程为y=-

1

2

x，
由

y=- 1 2 x y=kx+2

，解得

x=- 4 2k+1 y= 2 2k+1

，可得N(-

4

2k+1

，

2

2k+1

)，
又∵N是AB中点，∴由圆的性质，得MN⊥AB，
由此可得

2 2k+1

- 4 2k+1 -4

=-

1

k

，解之得k=-

4

3

，
即当ON∥MP时，实数k的值等于-

4

3

．

点评：本题给出经过定点的直线与圆相交，求参数k的取值范围，并在满足两直线平行的情况下求k值．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，考查了函数方程与数形结合的数学思想，属于中档题．