Question

【题目】已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）13．

【解析】试题分析：（1）根据等差数列的前三项和为6，且成等比数列列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.

试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，

即，

由，解得，所以．

（2）由（1）可得，

所以．

解，得，

所以的最大值为13．

【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.