Question

【题目】已知椭圆两焦点 ，并且经过点 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点A（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N（M在A、N之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆的焦点在x上，

所以设椭圆方程为 （a＞b＞0），

由定义得 ，

∴a=2，b2=4﹣3=1，所以椭圆方程为 ；

（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=kx+2（k≠0），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

由 整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，

由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，得 ；

，

令 ，

∵x1x2＞0，∴x1，x2同号，∴ ∴x1=λx2，

∴ ，

∴

∴

∵ ∴ ，解得 ，

∵0＜λ＜1∴ ，

所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是 ．

【解析】（1）设椭圆方程为 （a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得a=2，结合a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；（2）设l方程为y=kx+2（k≠0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，令 ，代入化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．