Question

13．如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，P是O的中点，O是PQ的中点，EC与平面ABCD成30°角．
（1）求证：EG⊥平面ABCD；
（2）求证：HF∥平面EAD；
（3）若AD=4，求三棱锥D-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明EG⊥AD，利用平面与平面垂直的判定定理以及性质定理推出EG⊥平面ABCD．
（2）取ED的中点I，连HI，AI，证明AFHI是平行四边形，FH∥AI，然后证明HF∥平面EAD．
（3）连CG，说明∠ECG是EC与平面ABCD成角，通过解三角形以及${V_{D-CEF}}={V_{E-CDF}}=\frac{1}{3}{S_{△CDF}}•EG=\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$，转化求解即可．

解答 （1）证明：∵△ADE是等边三角形，且G是AD的中点∴EG⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EG?平面EAD∴EG⊥平面ABCD
（2）证明：取ED的中点I，连HI，AI，∵H是CE的中点∴$HI∥CD，HI=\frac{1}{2}CD$∵ABCD是矩形，F是AB的中点∴$AF∥CD，AF=\frac{1}{2}CD$∴AF∥CD，AF=CD，则AFHI是平行四边形∴FH∥AI，则AI?平面EAD，FH?平面EAD∴HF∥平面EAD
（3）解：连CG，由（1）知EG⊥平面ABCD，则∠ECG是EC与平面ABCD成角，
即∠ECG=30°，且EG⊥CG而△ADE是等边三角形，当AD=4时，$EG=2\sqrt{3}$，
在Rt△CEG中，又∵∠ECG=30°，则$CG=\sqrt{3}EG=6$
又ABCD是矩形，且G是AD的中点，则$DG=2，CD=\sqrt{C{G^2}-D{G^2}}=4\sqrt{2}$∴${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}CD•AD=8\sqrt{2}$∴${V_{D-CEF}}={V_{E-CDF}}=\frac{1}{3}{S_{△CDF}}•EG=\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$
所以三棱锥D-CEF的体积为$\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$

点评 本题考查直线与平面平行平面与平面垂直的判定定理以及性质定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．