Question

5．设椭圆x²+2y²=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的标准方程，求得a和c的值，则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）方法一：代入椭圆方程方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），由$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，A，G，N三点共线；
方法二：由题意可知：k_MA-k_GA=$\frac{k{x}_{N}+2}{{x}_{N}}$-$\frac{-1}{\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}}$，由韦达定理求得k_MA-k_GA=0，即可求证A，G，N三点共线．

解答 解：（1）由题意的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，则a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）证明：方法一：曲线$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，当x=0时，y=±2，
故A（0，2），B（0，-2），
将直线y=kx+4代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
若y=kx+4与曲线C交于不同两点M，N，
则△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
由韦达定理得：x_M+x_N=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$，①，x_Mx_N=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$，②
MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共线，
即$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，
将①②代入可得等式成立，
则A，G，N三点共线得证．
方法二：将直线y=kx+4代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
则△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
由韦达定理得：x_M+x_N=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$，（1）x_Mx_N=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$，（2）
设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
则k_NA-k_GA=$\frac{k{x}_{N}+2}{{x}_{N}}$-$\frac{-1}{\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}}$=k+$\frac{2}{{x}_{N}}$+$\frac{k}{3}$+$\frac{2}{{x}_{M}}$=$\frac{4k}{3}$+2（$\frac{{x}_{M}+{x}_{N}}{{x}_{M}{x}_{N}}$），
将①②代入上式：k_NA-k_GA=0，
∴A，G，N三点共线．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，直线共线的求法，考查计算能力，属于中档题．