分析 (1)当a=4时,根据绝对值的性质,利用平方法进行求解即可求不等式f(x)≤0的解集;
(2)当a>-2时将函数f(x)表示为分段函数形式,求出f(x)=0的根,确定图象与x轴围成三角形的顶点坐标,结合三角形的面积公式进行求解即可.
解答 解:(1)当a=4时,不等式f(x)≤0得2|x+2|-|x-4|≤0,
得2|x+2||≤|x-4|.平方得4(x+2)2≤(x-4)2,
即x2+8x≤0,得-8≤x≤0,即不等式的解集为[-8,0].
(2)当a>-2时,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4-a}&{x≤-2}\\{3x+4-a}&{-2<x<a}\\{x+4+a}&{x≥a}\end{array}\right.$,
令f(x)=0得x=-4-a或x=$\frac{a-4}{3}$,
则f(x)的图象如x轴的交点A(-4-a,0),B($\frac{a-4}{3}$,0),
f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)单调递增,
f(x)min=f(-2)=-(a+2),设C(-2,-(a+2)),
f(x)的图象与x轴围成以A,B,C为顶点的三角形,
其面积为$\frac{1}{2}$[$\frac{a-4}{3}$-(-4-a))×(a+2)=$\frac{2}{3}$(a+2)2,
若函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54,
则$\frac{2}{3}$(a+2)2≤54,即(a+2)2≤81
解得-11≤a≤7,又a>-2,
所以-2<a≤7,所以a的最大值为7.
点评 本题主要考查绝对值不等式的结合和应用,根据绝对值的性质表示成分段函数是解决本题的关键.
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A. | a<0或a=$\frac{1}{2}$ | B. | 0≤a<$\frac{1}{2}$ | C. | a>$\frac{1}{2}$ | D. | 不存在实数a |
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A. | (-∞,2] | B. | (-∞,3] | C. | [2,+∞) | D. | [3,+∞) |
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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