Question

（选做2）已知当a≠b及n∈N*时有公式：aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ=

bn+1-an+1

b-a

（1）利用上述公式证明：对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
（2）证明：对一切n∈N*，有（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析：（1）根据公式只需证明：（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．利用0＜a＜b，进行放缩即可；
（2）由（1）中（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹令a=（1+

1

n+1

），b=（1+

1

n

），从而有（n+1）[（1+

1

n

）-（1+

1

n+1

）]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，逐步化简即可．

解答：解：（1）根据公式只需证明：（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
∵0＜a＜b
∴（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
故对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
证明：（2）由（1）中（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹
令a=（1+

1

n+1

），b=（1+

1

n

）
则（n+1）[（1+

1

n

）-（1+

1

n+1

）]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（n+1）（

1

n

-

1

n+1

）（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即[（1+

1

n

）-1]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（1+

1

n

）ⁿ-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹，

点评：本题以新定义为素材，考查不等式的证明，考查不等式的运用，有较强的难度．