【题目】已知常数且
,在数列
中,首项
,
是其前
项和,且
,
.
(1)设,
,证明数列
是等比数列,并求出
的通项公式;
(2)设,
,证明数列
是等差数列,并求出
的通项公式;
(3)若当且仅当时,数列
取到最小值,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析,;
(2)证明见解析,;(3)
.
【解析】
(1)令,求出
的值,再令
,由
,得出
,将两式相减得
,再利用等比数列的定义证明
为常数,可得出数列
为等比数列,并确定等比数列
的首项和公比,可求出
;
(2)由题意得出,再利用等差数列的定义证明出数列
为等差数列,确定等差数列
的首项和公差,可求出数列
的通项公式;
(3)求出数列的通项公式,由数列
在
时取最小值,可得出当
时,
,当
时,
,再利用参变量分离法可得出实数
的取值范围.
(1)当时,有
,即
,
;
当时,由
,可得
,将上述两式相减得
,
,
,
且,
所以,数列是以
,以
为公比的等比数列,
;
(2)由(1)知,
,由等差数列的定义得
,
且,所以,数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,
因此,;
(3)由(2)知,,
,
由数列在
时取最小值,可得出当
时,
,当
时,
,
由,得
,
得在
时恒成立,
由于数列在
时单调递减,则
,此时,
;
由,得
,
得在
时恒成立,
由于数列在
时单调递减,则
,此时,
.
综上所述:实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数的最小正周期为
,且其图象的一个对称轴为
,将函数
图象上所有点的橫坐标缩小到原来的
倍,再将图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象.
(1)求的解析式,并写出其单调递增区间;
(2)求函数在区间
上的零点;
(3)对于任意的实数,记函数
在区间
上的最大值为
,最小值为
,求函数
在区间
上的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某农科所发现,一中作物的年收获量y(单位:kg)与它”相近“作物的株数x具有线性相关关系(所谓两株作物”相近“是指它们的直线距离不超过1m),并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时,该作物的年收获量的相关数据如下:
X | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
y | 60 | 55 | 53 | 46 | 45 | 41 |
(Ⅰ)求该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程;
(Ⅱ)农科所在如图所示的正方形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,其中每一个小正方形的面积为1,若在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.(注:年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)
附:对于一组数据(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =
=
,
=
﹣
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“若A则B”为真命题,而“若B则C”的逆否命题为真命题,且“若A则B”是“若C则D”的充分条件,而“若D则E”是“若B则C”的充要条件,则¬B是¬E的____条件;A是E的____条件.(填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要”)
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