Question

已知直线l的倾斜角为

2π

3

，它与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若

AF

=λ

FB

（λ＞1），则λ的值为

3

．

Answer 1

分析：设出A，B的坐标，利用向量条件，可得λ=-

y1

y2

，设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2，即可求得结论．

解答：解：根据题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AF

=λ

FB

，可得（

p

2

-x₁，-y₁）=λ（x₂-

p

2

，y₂），故-y₁=λy₂?
∴λ=-

y1

y2

设直线方程为y=-

3

(x-

p

2

)，
联立直线与抛物线方程，消元得：y²+

2 3

3

py-p²=0，∴y₁+y₂=-

2 3

3

p，y₁y₂=-p²，
因此

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4

3

，即-λ-

1

λ

+2=-

4

3

，解得λ=3（λ＞1）．
故答案为3

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．