Question

如图，抛物线M：y=x²+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．
（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；
（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；
（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

Answer 1

解：（I）在方程y=x²+bx中．
令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，则
，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为
x²+y²+bx+（b﹣2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x₀，y₀），则
x₀=﹣，y₀=﹣，
∴y₀=x₀+1，这说明当b变化时，
（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b﹣2）n=0，整理得
（m+n）b+m²+n²﹣2n=0，它对任意b≠0恒成立，
∴或
故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．
（III）抛物线M的顶点坐标为（﹣，﹣），
若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，则
|﹣|≤，
整理得（b²﹣2b）²≤0，
因b≠0，∴b=2，
以上过程均可逆，
故存在抛物线M：y=x²+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．