Question

【题目】如图，已知 =（2，1）， =（1，7）， =（5，1），设Z是直线OP上的一动点．

（1）求使 取最小值时的 ；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

Answer 1

【答案】
（1）∵Z是直线OP上的一点，

∴ ∥ ，

设实数t，使 =t ，

∴ =t（2，1）=（2t，t），

则 = ﹣ =（1，7）﹣（2t，t）=（1﹣2t，7﹣t），

= ﹣ =（5，1）﹣（2t，t）=（5﹣2t，1﹣t）．

∴ =（1﹣2t）（5﹣2t）+（7﹣t）（1﹣t）

=5t2﹣20t+12=5（t﹣2）2﹣8．

当t=2时， 有最小值﹣8，

此时 =（2t，t）=（4，2）

（2）当t=2时， =（1﹣2t，7﹣t）=（﹣3，5），| |= ，

=（5﹣2t，1﹣t）=（1，﹣1），| |= ．

故cos∠AZB═ =

=﹣ =﹣

【解析】（1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA，ZB的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ；（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到．