【题目】已知,其中常数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数有两个零点,求证: ;
(3)求证: .
选做题:
【答案】(1) 有极小值,没有极大值.(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:先写出函数的定义域,(1)由,求出的导数,再求出的单调性,即可求得极值;(2)先证明:当恒成立时,有成立,若,则显然成立;若,运用参数分离,构造新函数通过求导数及单调性,结合函数零点存在定理,即可得证;(3)讨论当当时, 恒成立,可设设,求出导数,单调区间及最大值,运用不等式的性质,即可得证.
试题解析:函数的定义域为,
(1)当时, , ,
而在上单调递增,又,
当时, ,则在上单调递减;
当时, ,则在上单调递增,所以有极小值,没有极大值.
(2)先证明:当恒成立时,有成立.
若,则显然成立;
若,由得,令,
则,
令,由得在上单调递增,
又∵,所以在上为负,在上为正,
∴在上递减,在上递增
∴,从而.
因而函数若有两个零点,则,所以,
由得,则
,
∴在上单调递增,
∴,
∴在上单调递增
∴,则
∴
由得,则
∴,
综上得.
(3)由(2)知当时, 恒成立,所以,
即,
设,则,
当时, ,所以在上单调递增;
当时, ,所以在上单调递减;
所以的最大值为,即,
因而,
所以,即
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.
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【题目】共享单车的推广给消费者带来全新消费体验,迅速赢得广大消费者的青睐,然而,同时也暴露出管理、停放、服务等方面的问题,为了了解公众对共享单车的态度(提倡或不提倡),某调查小组随机地对不同年龄段50人进行调查,将调查情况整理如下表:
并且,年龄在和的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3,现从这两个年龄段中随机抽取2人征求意见.
(Ⅰ)求年龄在中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率;
(Ⅱ)求年龄在中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率.
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【题目】某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物(下简称 作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 作物种植点,其生长状况如表:
其中生长指数的含义是:2 代表“生长良好”,1 代表“生长基本良好”,0 代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,绝收”.
(1)估计该市空气质量差的作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;
(2)能否有 99%的把握认为“该市作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?
(3)根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该市作物的种植点中,绝收种植点的比例?请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,,,且.
(Ⅰ)若点为上一点且,证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的标准方程为,离心率,且椭圆经过点.过右焦点的直线交椭圆于, 两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若,求直线的方程.
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得以, 为邻边的四边形是菱形,且点在椭圆上.若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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