Question

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如图，设，，

把代入得，由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

=．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

=

=

=

，

，，解得．

即存在，使．