Question

已知二项式展开式中的常数项等于抛物线y=x²+2x在P（m，24）处的切线（P点为切点）的斜率，则展开式中系数最大的项的项数是（ ）
A．3和4
B．3
C．4
D．4和5

Answer 1

【答案】分析：把点P的坐标代入抛物线方程求得m=-6，或 m=4，再由导数的几何意义可得二项式展开式中的常数项等于-10或10．再根据二项式的展开式通项公式可得 n=5，
由此求得 = 展开式中系数最大的项的项数．
解答：解：把点P的坐标代入抛物线方程可得 24=m²+2m，求得m=-6，或 m=4，
故抛物线y=x²+2x在P（m，24）处的切线（P点为切点）的斜率为2m+2=-10，或10．
故二项式展开式中的常数项等于-10或10．
二项式的展开式通项公式为 T_r+1=••（-1）^r•=（-1）^r••，
令3n-5r=0，r=，再由r为自然数，（-1）^r•=±10，可得 n=5．
故 = 展开式中系数最大的项为 （-1）²••，故展开式中系数最大的项的项数是3，
故选B．
点评：本题主要考查导数的几何意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．