Question

用0，1，2，3，4，5，6构成无重复数字的七位数，其中：
（1）能被25整除的数有多少个？
（2）设x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足x＜y＜z的数有多少个？
（3）偶数必须相邻的数有多少个？

Answer 1

分析：（1）探究知，后两位数字是50与25时，这样的整数能被25整除，分两类计数求解；
（2）可求出总的七位数字个数，由于x＜y＜z重复计数A₃³次，用总数除之求解；
（3）用绑定法把偶数看作一个元素，求出总的个数再减去0在首位的个数即可．

解答：解：（1）能被25整除的数有两类后两位是50时，总的个数是A₅⁵=120，
后两位是25时，先排首位有4种方法，其它四位有A₄⁴，共有4×A₄⁴=96，
所以能被25整除的数有120+96=216个
（2）0，1，2，3，4，5，6构成无重复数字的七位数有6A₆⁶，
满足x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足x＜y＜z的数共有

6 A 6 6

A 3 3

=720个
（3）先把四个偶数放在一起，故有A₄⁴种排法，
再把四个偶数看作一个元素与三个奇数组成四个元素进行排列，有A₄⁴种排法，总的排法有A₄⁴×A₄⁴=576，
由于此种排法会出现0在首位的现象故从总的计数中减去O在首位的排法个数，0在首位时，三个偶数的排法有A₃³种，三个奇数排在个，十，百位也有A₃³方法，故0在首位的排法有A₃³×A₃³=36种
所以偶数必须相邻的数有576-36=540个

点评：本题考查排列、组合在实际中的应用，解题的关键是理解所研究的三个事件，能判断出能被25整除的法其后两位是25与50，个位、十位、百位上的数字是一个组合问题无序，几个数必相邻要用绑定法，在第三问中易因为忘记排除0在首位的情况导致解题失败，分析问题时考虑全面是避免此类错误的保证．