Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1）．
（I）求椭圆的方程；
（II）若过点（0，

3

5

）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）．
（i）求证：以MN为直径的圆恒过A点；
（ii）当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（I）由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1），可得

c a = 3 2 0+ 1 b2 =1 a2=b2+c2

解得即可．
（II）（i）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意可设过点（0，

3

5

）的直线的方程为y=kx+

3

5

，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，又A（0，-1），只要证明

AM

•

AN

=0即可．
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．且P(

-12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)．分类讨论：若k=0，则满足AP⊥MN，即可得出直线MN的方程为y=

3

5

．若k≠0，由kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

．即可得出．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1），
∴

c a = 3 2 0+ 1 b2 =1 a2=b2+c2

解得b²=1，a=2，c=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（II）（i）由题意可设过点（0，

3

5

）的直线的方程为y=kx+

3

5

，
联立

y=kx+ 3 5 x2 4 +y2=1

，化为(1+4k2)x2+

24k

5

x-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x1x2=-

64

25(1+4k2)

．
又A（0，-1），∴

AM

•

AN

=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=x1x2+(kx1+

8

5

)(kx2+

8

5

)
=(1+k2)x1x2+

8k

5

(x1+x2)+

64

25

=

-64(1+k2)

25(1+4k2)

-

192k2

25(1+4k2)

+

64

25

=

-64-256k2+64+256k2

25(1+4k2)

=0．
∴点A在以线段MN为直径的圆上，即以MN为直径的圆恒过A点．
（ii）由（i）可知：△AMN是以点A为直角顶点的直角三角形．设斜边MN的中点为P，当△AMN为等腰直角三角形时，则AP⊥MN．
且P(

-12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)．
若k=0，则满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=

3

5

，满足题意．
若k≠0，由kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

．此时直线MN的方程为y=±

5

5

x+

3

5

．
综上可知：当△AMN为等腰直角三角形时，直线MN的方程为：y=

3

5

，或y=±

5

5

x+

3

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在圆上的证明方法、等腰直角三角形的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．