Question

已知函数f(x)=2cos2

ωx

2

+cos(ωx+

π

3

)（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求实数ω的值，并求使得关于x的方程f（x）=m在区间[0，

2π

3

]上有解的实数m的取值范围；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-

1

2

，c=3，△ABC的面积为3

3

，求角A的值和边a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合最小正周期为π，确定函数解析式，求出函数的值域，即可求使得关于x的方程f（x）=m在区间[0，

2π

3

]上有解的实数m的取值范围；
（2）先求出A，再利用三角形的面积公式求出b，进而利用余弦定理求出a．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2cos2

ωx

2

+cos(ωx+

π

3

)=1+cosωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx=1+

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
∴f(x)=

3

cos(ωx+

π

6

)+1，
∵函数的周期为π，且ω＞0，
∴ω=2…（2分）
于是f(x)=

3

cos(2x+

π

6

)+1，
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]，
∴f(x)∈[1-

3

，

5

2

]，
∴要是方程f（x）=m在区间[0，

2π

3

]上有解，m的取值范围是[1-

3

，

5

2

]．…（6分）
（2）∵f（A）=

3

cos(2A+

π

6

)+1=-

1

2

，∴A=60°…（8分）
∵△ABC的面积为3

3

，c=3，
∴

1

2

b•3•sin60°=3

3

，∴b=4，…（10分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=16+9-2•4•3•

1

2

=13，可求得a=

13

．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的值域，考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，属于中档题．