Question

（1）设全集为R，集合A={t|t=sin(2x-

π

6

)，

π

4

≤x≤

π

2

}，若不等式t²+at+b≤0的解集是A，求a，b的值．
（2）已知集合M={x|(

1

2

)x2-x-6≤1}，N={x|log4(x+m)≤1}，若M∩N=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x的范围，求出2x-

π

6

的范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数sin（2x-

π

6

）的值域，即为t的取值范围，确定出集合A，再由不等式t²+at+b≤0的解集是A，得到集合A中解集中的两个端点为方程x²+ax+b=0的两根，利用韦达定理列出关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值；
（2）把集合M中的不等式右边的“1”变为(

1

2

)0，根据

1

2

小于1，得到指数函数为减函数，可列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，确定出集合M，把集合N中的不等式右边的“1”变为

log

4 4

，根据4大于1，得到对数函数为增函数，且根据对数函数的真数大于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，确定出集合N，然后根据两集合的交集为空集，可得出m的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，…（2分）
∴sin（2x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴A={t|

1

2

≤t≤1}，…（4分）
∴

1

2

，1是方程x²+ax+b=0的两根，…（5分）
∴

1 2 +1=-a 1 2 ×1=b

，解得：

a=- 3 2 b= 1 2

，…（7分）
（2）由集合M中的不等式(

1

2

)x2-x-6≤1=(

1

2

)0，
∵

1

2

＜1，∴指数函数为减函数，
∴x²-x-6≥0，即（x-3）（x+2）≥0，
解得：x≥3或x≤-2，
∴M={x|x≥3或x≤-2}，…（9分）
由集合N中的不等式log₄（x+m）≤1=

log

4 4

，
∵4＞1，∴对数函数为增函数，
∴x+m≤4，且x+m＞0，
解得：-m＜x≤4-m，
∴N={x|-m＜x≤4-m}，…（11分）
∵M∩N=∅，
∴

-m≥-2 4-m＜3

，…（13分）
可得1＜m≤2．…（14分）

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：集合中参数的取值问题，指、对数函数的增减性，正弦函数的定义域与值域，韦达定理，以及一元一次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的题型．