Question

2．在△ABC中，已知$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$
（1）求证：b+c=2a；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）变形已知式子由和差角的三角函数公式和正弦定理可得；
（2）由A=$\frac{π}{3}$和余弦定理可得b=c，再结合b+c=2a可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-sinAcosB-sinAcosC，
∴sinBcosA+sinAcosB+sinCcosA+sinAcosC=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
∴sinC+sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得b+c=2a；
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴由余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=（b+c）²-3bc，整理可得（b-c）²=0，
∴b=c，结合b+c=2a可得a=b=c
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．