Question

若等差数列{a_n}的首项为a₁=(m∈N^*)，公差是()ⁿ展开式中的常数项，其中ｎ为77⁷⁷-15除以19的余数，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

思路解析：先由及得出关于ｍ的不等式组，从而求出整数ｍ的值；求出77⁷⁷-15除以19的余数，从而得出ｎ的值；利用二项式定理，求出二项展开式中的常数项，便得到了公差的取值，由以上的求解，便可得出数列{a_n}的通项公式.

解：由题意,得∴.∵m∈N^*,∴m=2.

∴a₁==120-20=100.

而77⁷⁷-15=(1+19×4)⁷⁷-15

=(19×4)+(19×4)²+…+（19×4）⁷⁷-15

=(19×4)［(19×4)+…+(19×4)⁷⁶］+1-15

=(19×4)［(19×4)+…+（19×4）⁷⁶］-19+5

∴77⁷⁷-15除以19余5，即ｎ=5.

∴T_r+1=.

令5ｒ-15=0，得ｒ=3.

则T₄=·（-1）³=-4.所以d=T₄=-4.

所以a_n=a₁+(n-1)d=100+(n-1)·（-4）=104-4n.