Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”．给出下列四个函数：①f（x）=x+1  ②f（x）=-x²+1  ③f（x）=2^x-2  ④f（x）=

x

-

1

8

其中所有“M函数”的序号为

②③④

．

Answer 1

分析：根据定义域求出值域，然后寻找其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]的a与b的值，即可判定．

解答：解：（1）①f（x）=x+1，当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到满足条件的a与b，根据定义可知f（x）=x+1不是“M函数”；
②f（x）=-x²+1，当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[0，1]，根据定义可知f（x）=-x²+1是“M函数”；
③f（x）=2^x-2，由于它在R上是增函数，当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[2^a-2，2^b-2]，
由2^a-2=a，2^b-2=b，得2^a=a+2，2^b=b+2，
∵函数y=2^x与y=x+2有两个交点，
根据定义可知f（x）=2^x-2是“M函数”；
④f（x）=

x

-

1

8

，由于它在R上是增函数，当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[

a

-

1

8

，

b

-

1

8

]，
由a=

a

-

1

8

，b=

b

-

1

8

，得

a

=a+

1

8

，

b

=b+

1

8

，
∵y=

x

与y=x+

1

8

有两个交点，
根据定义可知f（x）=

x

-

1

8

是“M函数”；
综上，所有“M函数”的序号为②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的值域问题．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件，求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．属于中档题．