Question

从1到9的九个数字中取三个偶数三个奇数，组成没有重复数字的6位数？
试问：
（1）其中1在首位的有多少个？
（2）其中三个偶数字排在一起三个奇数字也排在一起的有多少个？
（3）其中任意两偶然都不相邻的六位数有多少个？

Answer 1

分析：（1）分三步：第一步在4个偶数中取3个，第二步除1以外的4个奇数中取2个，第三步在3个偶数，3个奇数进行排列，其中把1在首位，得到符合题意的六位数有C₄³C₄²A₅⁵=2880个．
（2）六位数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，同样把三个奇数看成一个元素进行排列，再排这相对独立的两个元素之间的顺序，即可得到结果．
（3）任意两个偶数都不相邻，可先把3个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，利用分别计数原理得到结果．

解答：解：（1）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C₄³=4种情况；
第二步在除1以外的4个奇数中取2个，可有C₄²=6种情况；
第三步3个偶数，3个奇数进行排列，其中1在首位的有A₅⁵=120种情况；
所以符合题意的七位数有C₄³C₄²A₅⁵=2880个．…（3分）
（2）其中3个偶数排在一起，3个奇数也排在一起的
有C₅³A₃³C₄³A₃³A₂²=2880个．…（7分）
（3）其中偶数字都不相邻，可先把3个奇数排好，再将3个偶数分别插入4个空档，
共有C₅³C₄³A₃³A₄³=5760个．…（11分）

点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，本题是一个比较典型的排列组合问题．