Question

已知向量满足|

a

|=2|

b

|，若p：关于x的方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0没有实数根；q：向量

a

，

b

的夹角θ∈[0，

π

6

），则p是q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：因为方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0没有实数根，所以△=|

a

|2 -4

a

b

＜0．因为|

a

|=2|

b

|，所以cosθ＞

1

2

．因为θ∈[0，π]，所以θ∈[0，

π

3

]．所以p：向量

a

，

b

的夹角θ∈[0，

π

3

），所以q?p．

解答：解：因为方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0没有实数根，
所以△=|

a

|2 -4

a

b

＜0
即△=|

a

|2 -4

|a||

b|

cosθ＜0
因为|

a

|=2|

b

|，
所以cosθ＞

1

2

因为θ∈[0，π]
所以θ∈[0，

π

3

]．
所以p：向量

a

，

b

的夹角θ∈[0，

π

3

）
又因为q：向量

a

，

b

的夹角θ∈[0，

π

6

），
所以q?p
所以p是q的必要不充分条件．
故选B．

点评：解决此类问题的方法是当出现较为复杂的充要条件判断问题时，可以先求其充要条件，然后转化为两个简单条件的关系判断，也可以转化为两个集合之间的关系进行判断．