Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都是3，D是侧棱CC₁上一点且C₁D=2DC，E是A₁B₁的中点．
（1）求证：AB⊥CE；
（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；
（2）以F点为坐标原点，又FB，FC，FE为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出异面直线AD与BC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴侧面AA₁B₁B是矩形
∵E、F分别是A₁B₁、AB的中点，∴EF∥AA₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA₁⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（2）以F点为坐标原点，又FB，FC，FE为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
∵底面边长和侧棱长都是3，D是侧棱CC₁上一点且C₁D=2DC，
∴A（-

3

2

，0，0），B（

3

2

，0，0），C（0，

3 3

2

，0），D（0，

3 3

2

，1）
∴

AD

=（

3

2

，

3 3

2

，1），

BC

=（-

3

2

，

3 3

2

，0），
设直线AD与BC所成角为θ
则cosθ=

| AD • BC |

| AD |•| BC |

=

9 2

3 10

=

3 10

20

即直线AD与BC所成角的余弦值为

3 10

20

点评：本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，证明线线垂直及异面直线的夹角，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将异面直线的夹角转化为向量的夹角．