Question

如表所示，将数以斜线作如下分类：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…，并顺次称其为第1类，第2类，第3类，第4类，第5类，…，

1	3	5	7	9	…
2	6	10	14	18	…
4	12	20	28	36	…
8	24	40	56	72	…
16	48	80	112	144	…
…	…	…	…	…	…

（1）第6类中的第2项是________；
（2）第n类中n个数的和是：________．

Answer 1

解：由题意数列可以转化为：
1
2 3
4 6 5
8 12 10 7
16 24 20 14 9
32 48 40 28 19 11
…
可知每一列都是等比数列，每一行最后一个数是等差数列，公差为2，
所以第6类中的第2项是：3×2⁴=48．
第n个类中n个数为：S_n=1×2 ^n-1+3×2^n-2+5×2 ^n-3+…+（2n-1）•2 ⁰…①
2S_n=1×2 ⁿ+3×2^n-1+5×2 ^n-2+…+（2n-1）•2 ¹…②，
②-①得，S_n=2 ⁿ+2×2^n-1+2×2 ^n-2+…+2•2 ¹-2n+1
=2 ⁿ+2ⁿ+2 ^n-1+…+2 ²-2n+1
=
=3•2ⁿ-2n-3
故答案为：48，，3•2ⁿ-2n-3．
分析：观察数列的每一列，得到第一个数列，第2个数列，…都是以2为公比的等比数列，不难求出第6类中的第2项；第n类中n个数表示出后，求出和即可．
点评：本题是中档题，考查新定义和分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，找出数列的特征是解题的关键．