Question

3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞f（x），且f（2）=0．且不等式f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 通过已知条件，构造分数函数的导数，判断函数的单调性，通过f（2）=0，求出不等式的解集即可．

解答 解：因为xf′（x）＞f（x），所以$\frac{f（x）}{x}$=[xf′（x）-f（x）]$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在定义域内递增函数，又因F（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
则不等式f（x）＜0的解集就是不等式$\frac{f（x）}{x}$＜0的解集，
即为F（x）＜F（2）的解集，
解得{x|0＜x＜2}．
故选A．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的应用，考查转化思想与计算能力．