Question

16．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AD=4，A A₁=2$\sqrt{2}$，M是C₁D₁的中点．
（1）在平面A₁B₁C₁D₁内，请作出过点M与BM垂直的直线l，并证明l⊥BM；
（2）设（1）中所作直线l与BM确定平面为α，求直线BB₁与平面α所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接A₁M，M B₁，则直线A₁M就是所求的l，证明A₁M⊥平面B₁BM，即可证明l⊥BM；
（2）设N为BM的中点，连接B₁N，则B₁N⊥MB，B₁N⊥平面A₁BM，即B₁N⊥平面α，∠NBB₁就是BB₁与平面α所成角，即可求直线BB₁与平面α所成角的大小．

解答 解：（1）连接A₁M，M B₁，则直线A₁M就是所求的l，
证明如下：
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁M?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁M．
在矩形A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2 A₁D₁=4，M是C₁D₁的中点．
∴△A₁D₁M和△B₁C₁M都是等腰直角三角形，
∴∠A₁MD₁=∠B₁MC₁=45°，故∠A₁MB₁=90°，
即A₁M⊥MB₁，又BB₁∩MB₁=B₁，A₁M⊥平面B₁BM，
∴A₁M⊥MB，即l⊥B₁M…（6分）
（2）连接A₁B，由（1）A₁M⊥平面B₁BM，A₁M?平面A₁MB，
∴平面A₁BM⊥平面B₁BM，平面A₁BM∩平面B₁BM=BM，
在Rt△B₁BM中，B₁M=BB₁=2$\sqrt{2}$，设N为BM的中点，连接B₁N，则B₁N⊥MB，
∴B₁N⊥平面A₁BM，即B₁N⊥平面α，
∴∠NBB₁就是BB₁与平面α所成角，
因为Rt△B₁BM是等腰直角三角形，所以∠NBB₁=45°．
因此，BB₁与平面α所成角的大小为45°…（12分）

点评 本题考查线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．