Question

20．设函数f（x）=mx+2，g（x）=x²-2x，?x₀∈[-1，2]，?x₁∈[-1，2]，使得f（x₀）＞g（x₁），则实数m的取值范围是-1.5＜m＜3．

Answer 1

分析 要使命题成立需满足f（x₀）_min＞g（x₁）_min，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．

解答 解：要使命题成立需满足f（x₁）_min＞g（x₂）_min，
x₁∈[-1，2]，g（x）=x²-2x∈[-1，2]，g（x₁）_min=-1
m＞0，函数f（x）=mx+2在[-1，2]上是增函数，所以f（x₀）_min=f（-1）=-m+2，
∴-m+2＞-1，∴m＜3，∴0＜m＜3；
m=0，f（x）=2，f（x₀）_min=2＞-1，成立；
m＜0，函数f（x）=mx+2在[-1，2]上是减函数，所以f（x₀）_min=f（2）=2m+2，
∴2m+2＞-1，∴m＞-1.5，∴-1.5＜m＜0，
综上所述，实数m的取值范围是-1.5＜m＜3．
故答案为：-1.5＜m＜3．

点评 本题考查函数最值的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，要使命题成立需满足f（x₁）_min＞g（x₂）_min，是解题的关键，属于中档题．