Question

3．（1）求值：$lg5+lg2+{（{\frac{3}{5}}）^0}+ln{e^{\frac{1}{2}}}$（其中e为自然对数的底数）；
（2）已知cosα=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，\;sin（α+β）=\frac{1}{3}，\;α∈（0，\frac{π}{2}），\;β∈（\frac{π}{2}，π）$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α+β）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：（1）$lg5+lg2+{（{\frac{3}{5}}）^0}+ln{e^{\frac{1}{2}}}$=lg10+1+$\frac{1}{2}$=$2\frac{1}{2}$．
（2）∵$cosα=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$sinα=\frac{1}{3}$．
又∵$sin（α+β）=\frac{1}{3}$，而$α∈（0，\frac{π}{2}），\;β∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴$α+β∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}}）$，
∴$cos（α+β）=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
于是cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=-\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=-\frac{7}{9}$，
故$cosβ=-\frac{7}{9}$．

点评 本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，属于基础题．