Question

5．已知P是△ABC所在平面外的一点，PA、PB、PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的垂心．

Answer 1

分析 点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．

解答 证明：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评 本题是立体几何中一道证明题，考查了线面垂直的定义与三角形的全等，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．