Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，△ABC是边长为2的正三角形，且BD=2，AE=1，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面BCD；
（3）求二面角C-DE-B的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取BC中点O，连接OF，可证四边形EAOF是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）连接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，则线面垂直的判断定理证明．
（3）过C作CK⊥DE于K，连接KH．由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．进而可求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：取BC中点O，连接OF，
∵F是CD中点，O为CB中点，∴OF∥DB且OF=

1

2

DB，
又BD∥AE且AE=

1

2

BD，
∴OF∥AE，OF=AE，
∴四边形EAOF是平行四边形，
∴OA∥FE，
又∵OA?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．

（2）连接BF，∵AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是 CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以 EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

，
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD为两条相交直线，
故EF⊥平面BCD．
（III）过C作CK⊥DE于K，连接KH．
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．
易知EC=

5

，DE=

5

，CD=2

2

．
由S_△DCE=

1

2

×2

2

×

3

=

1

2

×

5

CK，可得CK=

2 30

5

．
在Rt△CHK中，sin∠HKC=

CH

CK

=

10

4

，所以cos∠HKC=

6

4

，
所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为

6

4

．

点评：考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．是中档题．